定点数的编码表示

定点数的定义

小数点位置约定在固定位置的数称为定点数。定点整数的小数点固定在最右侧，定点小数的小数点固定在最左侧。

用途

定点整数常用来表示整数，定点小数常用来表示浮点数的尾数部分

编码表示

我们若想将一个十进制小数转为一个二进制，需要解决三个问题：

1. 进位计数制的转换
2. 小数点该如何存放
3. 正负号如何存放

这里的前两个问题已经解决了，我们只需要思考如何存放正负号即可。这里一般采用**“符号数字化”**的方式，0 表示正号，1 表示符号。那么又出现一个问题：数字化了的符号能否和数值位一起参加运算呢？

为了解决这个问题，产生了各种把符号位和数值位一起编码的方式。

1. 原码
2. 反码
3. 补码
4. 移码

这里有个概念：机器数是数值数据在计算机内部编码表示后的数，真值是机器数真正的数值（即现实世界中带有正负号的数）

原码表示

***编码规则：***原码表示的数值部分和真值的数值部分一样，符号位正数为 0，负数为 1

***优点：***与真值对应关系直观

缺点：

1. 0 的表示不唯一（例如，以8位原码为例：+0 = 00000000， -0 = 10000000）
2. 原码加减运算规则复杂

***用途：***不用原来来表示整数，只用定点原码小数来表示浮点数的尾数。

反码表示

***编码规则：***负数的反码：符号位为1，数值位按原码各位取反。正数和原码一样。

缺点：

1. 0 不唯一
2. 表示范围较补码少一个最小负数

补码表示

模运算

若 $A,B,M$ 满足以下关系： $A=B+K \times M$，则记为 $A \equiv B(mod\ M)$，即$A,\ B$各除以 $M$ 以后的余数相同，则称 $A、B$ 在模 $M$ 的情况下是等价的。

基于上述概念，一个数的补码就是这个数在模运算下的等价值，是小于模的一个正数。因此，对于某一个确定的模，$A - B$ 可以用 $A$ 加上 $-B$ 的补码来代替。

由于计算机中的存储，运算部件都只是有限宽度的，对于高于这些宽度的数据是舍去的，只保留低位，因此这就是天然的模运算系统。

补码定义

假设一个数 $X_T$ 为 n 位数，其中具有 1 位符号位，n - 1 位数值位，则其补码定义为：

$$[X_T]_{b} = 2^n + X_T$$

从上面的式子可以看出：对于负数而言，$[X_T]_{b} = 2^n - |X_T|$，将 $|X_T|$ 左移到等号左边，可以发现：

$$[X_T]_{b} + |X_T|= 2^n$$

这里的 $[X_T]_{b}$ 是负数的补码，$|X_T|$ 是正数的补码，也就是一个 $n$ 位数的负值补码加上正值补码为 $2^n$，那么，我们平常可以快速地得到一个数的补码

1. 若一个数是正数，其补码和原码一样
2. 若一个数是负数，则为其正数补码全部取反，末位加一

特殊数据的补码表示

假设一个数为 n 位，其中 n - 1 位数值位，1 位符号位。则：

$$[0]_b = 0\ 0\cdots0_{n-1}$$ $$[-1]_b = 1\ 1\cdots1_{n-1}$$ $$[-2^{n-1}]_b = 1\ 0\cdots0_{n-1}$$

补码与真值的转换

根据补码的定义中最后提到的正负数的补码，我们可以很简单地得到：

1. 正数的真值就是把符号位换成 + 号
2. 负数的真值为全部取反，末位加一后，把最高位换成 - 号

**注意：**最小负数的补码转化为真值时，会发生溢出。

变形补码

某些计算机中为了判断运算结果是否溢出，会采用双符号位的补码表示方式，称为“变形补码”。

假定变形补码的位数为 n + 1 位（符号位占 2 位，数值位占 1 位），此时的补码定义为：

$$[X_T]_b = 2^{n+1} + X_T$$

移码表示

移码就是一个数 a 加上一个偏置常数 t，使其换成一个正整数，这个正整数的二进制就是数 a 的移码。

用途： 移码主要是用来表示浮点数中的阶码，浮点数在进行运算时，常常需要比较大小，而两个正整数的比较操作简单。